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Jun 09, 2023

Eine archimedische Schraube für Licht

Nature Communications Band 13, Artikelnummer: 2523 (2022) Diesen Artikel zitieren 3980 Zugriffe 12 Zitate 3 Details zu altmetrischen Metriken Eine Verlagskorrektur zu diesem Artikel wurde am 3. August veröffentlicht

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Eine Verlagskorrektur zu diesem Artikel wurde am 3. August 2022 veröffentlicht

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Eine Archimedes-Schraube fängt Wasser ein und führt ihm Energie zu, indem sie es auf ein höheres Niveau hebt. Wir stellen das erste Beispiel einer optischen Archimedischen Schraube vor und zeigen, wie dieses System Licht einfangen, ziehen und verstärken kann. Wir stellen neue exakte analytische Lösungen für Maxwell-Gleichungen für eine große Familie chiraler Raum-Zeit-Medien vor und zeigen deren Potenzial, eine chiral selektive Verstärkung innerhalb weitgehend einstellbarer Parität-Zeit-gebrochener Phasen zu erreichen. Unsere Arbeit, die leicht durch Pump-Probe-Experimente mit zirkular polarisierten Strahlen umgesetzt werden kann, eröffnet eine neue Richtung in der Physik zeitveränderlicher Medien, indem sie das wachsende Feld der Raum-Zeit-Metamaterialien und das chiraler Systeme zusammenführt, und bietet eine neue Richtung Spielplatz für topologische und nicht-hermitesche Photonik mit potenziellen Anwendungen für chirale Spektroskopie und Sensorik.

Grundlegende Aspekte der Wellenwechselwirkungen in zeitabhängigen Systemen haben in jüngster Zeit dank der Entdeckung ultradünner und hochgradig nichtlinearer Materialien neues Interesse geweckt. Befreit von Einschränkungen wie Reziprozität und Energieeinsparung können diese Systeme neue und exotische Wellenverhalten ermöglichen. In dieser Arbeit eröffnen wir eine neue Richtung im aufstrebenden Bereich der Raum-Zeit-Metamaterialien, indem wir sie zum ersten Mal mit dem etablierten Bereich der chiralen Systeme vermischen und so das elektromagnetische Analogon der berühmten Archimedes-Schraube für Flüssigkeiten realisieren.

Die Bedeutung zeitveränderlicher Medien für die Wellenmanipulation ergab sich aus mehreren Vorschlägen im Rahmen der jahrzehntelangen Suche nach einer magnetfreien Nichtreziprozität sowohl in der Photonik1,2,3 als auch bei mechanischen Wellen4,5. Die zeitliche Strukturierung von Materie eröffnet mehrere neue Wege zur Wellenkontrolle: Periodische Modulationen von Materialparametern können den Entwurf topologisch nicht trivialer Phasen6 sowie topologischer Floquet-Isolatoren7 und topologischer Isolatoren mit synthetischen Frequenzdimensionen8 ermöglichen. Darüber hinaus kann eine geeignete Anpassung der zeitlichen Abhängigkeit reaktiver Elemente eine beliebige Energieakkumulation ermöglichen9, wohingegen die Einführung zeitmodulierter, nicht-hermitescher Elemente zu nichtreziproker Modensteuerung und -verstärkung10 sowie zu Ereignisverschleierung und perfekter Absorption11 führen kann Oberflächenwellenkopplung an räumlich flachen Grenzflächen12. In nichtperiodischen Systemen ist abruptes Umschalten der Schlüssel zu neuen Richtungen wie Zeitumkehr13, Zeitbrechung14 und anisotropieinduzierter Wellenlenkung15 sowie Frequenzumwandlung16,17,18, Bandbreitenverbesserung19 und Anderson-Lokalisierung20.

Darüber hinaus haben Raum-Zeit-Metamaterialien, deren Parameter auf eine Art Wanderwelle moduliert werden,21,22,23,24,25, die auf der Kombination räumlicher und zeitlicher Freiheitsgrade basieren, in letzter Zeit sowohl aus fundamentalen Gründen als auch aus fundamentalen Gründen erneut an Dynamik gewonnen Sie ermöglichen die Nachahmung und Verallgemeinerung physikalischer Bewegung über die üblichen relativistischen Einschränkungen hinaus, was zu optischem Widerstand26, Lokalisierung27 und neuartigen Verstärkungsmechanismen28,29 sowie für praktische Anwendungen wie die Erzeugung harmonischer Schwingungen30, Strahllenkung31 und Leistungskombination aus mehreren Quellen32 führt. Erfolgreiche Experimente mit räumlich-zeitlicher Modulation umfassen Arbeiten in den Bereichen Akustik5,7,33 und Elastizität34, Mikrowellen3,30, im Infrarotbereich35 und sogar in diffusiven Systemen36. Dank der Einführung neuartiger hochgradig nichtlinearer Materialien wie z als ITO38 und AZO39. Schließlich wurden kürzlich Homogenisierungsschemata sowohl für zeitliche40,41 als auch für räumlichzeitliche42 Metamaterialien entwickelt.

Ein seit längerem etabliertes, aber immer noch weit verbreitetes multidisziplinäres Forschungsgebiet sind chirale Systeme (wir beachten, dass der Begriff „chiral“ auch für ein Medium mit bianisotroper Kopplung verwendet wird. Hier beziehen wir uns jedoch nur auf seinen helikalen Charakter, und damit verbundene Eigenschaften des Zirkulardichroismus). Aufgrund seiner entscheidenden technologischen Anwendungen, die von der Anzeigetechnologie bis zur Spektroskopie und Biosensorik reichen, reicht die mathematische Untersuchung chiraler elektromagnetischer Systeme mehrere Jahrzehnte zurück43, wobei experimentelle Beobachtungen optischer Aktivität viel weiter zurückreichen bis zu den frühen Beobachtungen von Biot und Pasteur im 19. Jahrhundert44 . Theorien chiraler Medien wurden erfolgreich auf die Untersuchung cholesterischer Flüssigkristalle45 sowie einer Vielzahl natürlich vorkommender Strukturen46 und seit dem Aufkommen von Metamaterialien auf negative Brechung47,48,49, Breitband- und verbesserte optische Aktivität50 sowie asymmetrische Transmission51 angewendet. 52,53 und in jüngerer Zeit Topologie54.

In dieser Arbeit kombinieren wir die wesentlichen Bestandteile dieser beiden vorherrschenden Themen der aktuellen Metamaterialszene, Chiralität und Zeitmodulation, um das erste Beispiel chiraler Raum-Zeit-Metamaterialien vorzuschlagen und so das elektromagnetische Analogon der berühmten Archimedes-Schraube für Flüssigkeiten zu verwirklichen . Bei der Entwicklung unseres genauen analytischen Modells für eine breite Klasse dieser Systeme entdecken wir geschlossene analytische Lösungen für die Maxwell-Gleichungen und verwenden sie, um das Potenzial dieser Strukturen für eine chiral selektive Verstärkung aufgrund von Paritätszeit-(PT)-gebrochenen Phasen zu demonstrieren . Der Reichtum unseres analytischen Modells ebnet den Weg für zukünftige systematische Untersuchungen chiraler Raum-Zeit-Medien als neuen Spielplatz für die topologische und nicht-hermitesche Physik und könnte in naher Zukunft sowohl in der Optik als auch durch Pump-Probe-Experimente mit zirkulären Experimenten realisiert werden polarisierte Pumpstrahlen und bei HF mit nichtlinearen Schaltungselementen.

Betrachten Sie ein Medium mit den folgenden anisotropen Permittivitäts- und Permeabilitätstensoren:

wobei \(\hat{{{{{{\bf{x}}}}}}}\) und \(\hat{{{{{{\bf{y}}}}}}}\) Einheiten sind Vektoren in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsachse der Schraube, 2α ist die Modulationsamplitude des jeweiligen elektromagnetischen Parameters, ε1 und μ1 sind die Hintergrundpermittivität und Permeabilität des Mediums und die Rotationsmatrix

beschreibt (c = „cos“ und s = „sin“) den Schraubvorgang entlang der raumzeitlichen Variablen θ± = gz − Ωt ± ϕ. Beachten Sie, dass wir Einheiten wie ε0 = μ0 = c0 = 1 gewählt haben. Die Wellenzahl g und die Frequenz Ω der Modulation definieren die Schraubengeschwindigkeit vs = Ω/g, und die elektrischen und magnetischen Komponenten der Schraube sind durch eine Dephasierung 2ϕ getrennt , sodass das System überall impedanzangepasst ist, wenn αε = αμ und ϕ = 0. Abbildung 1(b) zeigt die Spitze der Hauptachsen (Eigenvektoren) \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) und \(\ overrightarrow{\delta \mu }\) des modulierten Teils der Materialtensoren für ϕ = 0, die den jeweiligen Schraubkoordinaten entsprechen:

Die vollständige Form der Materialtensoren lautet:

a Eine mechanische Archimedes-Schraube transportiert Flüssigkeiten von einem tieferen zu einem höher gelegenen Boden56. b Eine optische Schraube ist ein Medium, dessen Permittivitäts- und Permeabilitätstensoren so moduliert sind, dass die Hauptachsen \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) und \(\overrightarrow{\delta \mu }\) ihrer Modulation zwei Helices beschreiben . Darüber hinaus berücksichtigen wir in unserem Modell eine Dephasierung von 2ϕ zwischen den beiden Modulationen. Für die Nulldephasierung (ϕ = 0) zeigt bei θ = gx − Ωt = 0 \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) entlang der x-Achse, während \(\overrightarrow{\delta \mu }\) Punkte entlang der y-Achse. Bei endlicher Dephasierung ϕ ≠ 0 werden die beiden Modulationen in der Raumzeit um 2ϕ vorwärts und rückwärts verschoben, so dass ihre gesamte Phasendifferenz 2ϕ beträgt.

Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass wir in einem Bereich arbeiten, in dem die Materialstreuung vernachlässigbar ist, und konzentrieren uns auf den Normalinzidenzfall kx = ky = 0. Um ein Eigenwertproblem für die Eigenfrequenzen ω(k) zu schreiben, verwenden wir die Maxwell-Gleichungen für das Verschiebungsfeld D und die magnetische Induktion B:

Um eine analytische Lösung für die Normalinzidenz zu finden, transformieren wir unsere Felder in eine neue, koordinatenabhängige Basis vorwärts ( ⇀ )- und rückwärts ( ↼ )-ausbreitender Felder:

die der Schraubensymmetrie (\(x^{\prime} \), \(y^{\prime} \)) des Systems folgen. Hier ist \({\bar{B}}_{x/y}=\sqrt{{\varepsilon }_{1}/{\mu }_{1}}{B}_{x/y}={B }_{x/y}/{Z}_{1}\), wobei Z1 die Wellenimpedanz des Hintergrundmediums ist. Bemerkenswert ist, dass wir dank dieser Symmetrieoperation die durch die Schraubenmodulation induzierte θ-Abhängigkeit der Maxwell-Gleichungen vollständig in die neuen Basisfelder absorbieren können, sodass sich das unendliche System gekoppelter Gleichungen für jede Dephasierung ϕ in unabhängige 4-mal-4-Blöcke entkoppelt (Einzelheiten siehe SM). Unter Annahme eines Floquet-Bloch-Ansatzes Ψ = ei(kz−ωt)∑mamei(2m−1)(gz−Ωt), wobei \(m\in {\mathbb{Z}}\), jeweils 4-mal-4 block kann als Eigenwertproblem für den n-ten Satz von vier Bändern geschrieben werden:

wobei n = 2m − 1 eine ungerade ganze Zahl ist und die vier 2-mal-2-Matrizen \({\mathbb{M}}\), die Vorwärts- und Rückwärtswellen koppeln, im SM in geschlossener Form zusammen mit einer detaillierten Ableitung angegeben sind der Basistransformation. Die Motivation für die doppelt periodische harmonische Form dieser Fourier-Entwicklung liegt darin, dass aufgrund der quadrierten trigonometrischen Funktionen in den Gleichungen (5)–(6) Die tatsächliche raumzeitliche Periode des Systems wird halbiert. Darüber hinaus impliziert das Vorhandensein der trigonometrischen Funktionen von θ in unseren modifizierten Basisfeldern einen vorhandenen e±i(gz−Ωt)-Versatz, der in unserem Ansatz berücksichtigt werden muss, um alle geraden Fourier-Komponenten zu berücksichtigen. Es ist erwähnenswert, dass die Möglichkeit, das Problem auf diese Weise blockdiagonalisieren zu können, für einen photonischen Kristall ungewöhnlich ist. Dies liegt daran, dass die Schraubensymmetrie im Gegensatz zu den diskreten Symmetrien eines herkömmlichen Kristalls eine kontinuierliche Symmetrie ist. Daher kann die durch eine unendlich kleine Störung, die diese Symmetrie respektiert, auf die Felder induzierte Änderung immer wiederhergestellt werden, indem die gleiche Symmetrieoperation auf die Felder selbst angewendet wird, was den Kern der Gleichungen ausmacht. (8)–(11).

Im impedanzangepassten Fall (αε = αμ und ϕ = 0) entkoppelt das obige 4-mal-4-System die sich vorwärts und rückwärts ausbreitenden Wellen weiter, sodass die nicht diagonalen Matrizen \({{\mathbb{M}} }_{\leftharpoonup {,}_{n}}^{\rightharpoonup }\) und \({{\mathbb{M}}}_{\rightharpoonup {,}_{n}}^{\leftharpoonup }\ ) verschwinden, wie aufgrund der Impedanzanpassungsbedingung erwartet. In diesem Fall können die Eigenwerte leicht von Hand berechnet werden. Die Eigenwerte für den Fall ϕ = 0 können somit geschrieben werden als:

wobei \({\bar{\alpha }}^{\pm }={\bar{\alpha }}_{\varepsilon }\pm {\bar{\alpha }}_{\mu }\) die Summe sind ( + ) und Differenz ( − ) zwischen den elektrischen und magnetischen Modulationen, \({\bar{\alpha }}_{\varepsilon /\mu }=-{\alpha }_{\varepsilon /\mu }/(1 +2{\alpha }_{\varepsilon /\mu })\), kn = k + ng, \({{{\Delta }}}_{0}^{\rightleftharpoons }=[(\bar{g }-{\sigma }^{\rightleftharpoons }{{\Omega }})+{\bar{\alpha }}^{+}\bar{g}](\bar{g}-{\sigma }^{ \rightleftharpoons }{{\Omega }})\), während σ⇀ = + 1 und σ↼ = −1 für Vorwärts- und Rückwärtsfahrmodi stehen. Beachten Sie, dass im impedanzangepassten Fall gilt: \({\alpha }^{-}={\bar{\alpha }}^{-}=0\). In Abb. 2 zeigen wir die analytischen (Linien) und numerischen (Dreiecke/Kreise für RHP/LHP) vorwärts ausbreitenden Bänder erster und zweiter Ordnung, um ihre Wechselwirkung zu zeigen, sowie das rückwärts ausbreitende Band erster Ordnung (die in diesem Fall nur schwach mit der Schraube interagiert) für steigende Werte von Ω. Einzelheiten zu den numerischen Floquet-Bloch-Berechnungen finden Sie im SM. In der gesamten Arbeit verwenden wir g = ε1 = μ1 = 1, sodass die zeitliche Modulationsfrequenz Ω numerisch der Schraubengeschwindigkeit vs entspricht, und wir beziehen uns äquivalent auf sie. Hier verwenden wir αε = αμ = α = 0,4. Beachten Sie, dass die beiden Bänder in ihrer Grundschwingung eine entgegengesetzte zirkulare Polarisation aufweisen, die wir gemäß der Konvention für feste Position und variable Zeit als rechtspolarisiert (RHP, blau) oder linkspolarisiert (LHP, rot) definieren.

Die verschiedenen Felder entsprechen zunehmender Modulationsfrequenz/-geschwindigkeit (a) Ω = 0, (b) Ω = 0,4, (c) Ω = 0,55 und (d) Ω = 0,7. Beachten Sie die Anziehung (c) zwischen Vorwärts-RHP-Bändern: Da \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{-}\ungefähr 0,5556\), führt diese Wechselwirkung zu der PT-gebrochene Phase mit komplexen RHP-Bändern (die gestrichelten Linien zeigen die beiden komplexen Zustände ℜ[ω] ± ℑ[ω]) für Ω = 0,7 in (d).

Bei niedrigen Geschwindigkeiten (Wechselstrom) sind in diesem impedanzangepassten Szenario erwartungsgemäß keine Bandlücken vorhanden. Beachten Sie, wie sich das erste und das zweite Vorwärtsband mit derselben Polarisation einander annähern, wenn Ω erhöht wird. Tatsächlich kommt es zu einem Übergang, wenn sich Ω/g einem kritischen Wert \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}=1/(1+2\alpha )\) nähert (in diesem Fall \( {{{\Omega }}}_{crit}^{-}=0,5556\)), mit dem Aussehen einer diagonalen Bandlücke, die wachsende und zerfallende Zustände beherbergt und durch zwei Ausnahmepunkte (d) begrenzt wird. Diese instabile Lücke schließt sich wieder beim oberen kritischen Wert \({{{\Omega }}}_{crit}^{+}=1\). Diese Grenzen lassen sich leicht zeigen, indem man das Argument der Quadratwurzel in den obigen Eigenwerten untersucht. Die komplexen Zustandspaare in der instabilen Phase sind mit einer gestrichelten Linie markiert und liegen bei ℜ[ωn(k)] + ℑ[ωn(k)]. Das Auftreten der instabilen Bandlücke innerhalb des impedanzangepassten Bereichs ist ein besonderes Merkmal luminaler Systeme, auf das bereits hingewiesen wurde29. Allerdings manifestierte sich der Verstärkungsmechanismus in früheren Arbeiten nicht wie in diesem Fall als ein Paar außergewöhnlicher Punkte, die durch eine PT-gebrochene Phase mit komplexen Eigenwerten getrennt waren, sondern vielmehr in der Erzeugung eines Superkontinuums. Daher ist dies das erste Mal, dass eine solche PT-Symmetriebrechung in der Nähe des Lumenbereichs auftritt, trotz Impedanzanpassung, von der man normalerweise erwarten würde, dass sie die Bildung von Bandlücken verhindert. Beachten Sie außerdem, dass diese Instabilität nur für eine zirkulare Polarisation auftritt, während Zustände mit der entgegengesetzten Polarisation reale Eigenwerte behalten.

In Abb. 3 untersuchen wir die Änderungen der Bänder bei langen Wellenlängen, wenn wir Ω zwischen den beiden kritischen Werten \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}\) und \({{{ \Omega }}}_{crit}^{+}\), die das Geschwindigkeitsregime begrenzt, innerhalb dessen komplexe Zustände gefunden werden können. Ein charakteristisches Merkmal von Raum-Zeit-Medien, das kürzlich entdeckt wurde, ist ihre Fähigkeit, einen Widerstand auf Licht auszuüben, analog zum Fresnel-Widerstand, den ein bewegtes Medium ausübt, jedoch mit einer größeren Einstellbarkeit und der Möglichkeit einer überluminalen Modulation. Dieser Widerstand manifestiert sich als Asymmetrie zwischen der Geschwindigkeit der Vorwärts- und Rückwärtswellen im langwelligen/niederfrequenten Grenzbereich k ≪ g ∧ ω ≪ Ω. Durch die Taylor-Entwicklung der ω(k)-Eigenwerte oben können wir deutlich sehen, dass der Beitrag erster Ordnung: \({\omega }^{\rightleftharpoons }(k)=\pm (1+{\bar{\alpha } }^{+}/2)k+O({k}^{2})\) ergibt für beide Ausbreitungsrichtungen und für beide Polarisationen die gleiche Geschwindigkeit. Dieser Beitrag erster Ordnung ist in Abb. 3 als strichpunktierte schwarze Linie dargestellt, was uns hilft, den optischen Widerstand zu visualisieren, der durch die Schraube als Ergebnis der Beiträge höherer Ordnung verursacht wird. Es ist leicht zu erkennen, wie Vorwärtswellen beider Polarisationen nach hinten gezogen werden, wenn Ω in Richtung eines anderen kritischen Schlüsselwerts \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\) (≈0,78 in Feldern ac).

Durchgezogene Linien kennzeichnen analytische Lösungen für die niedrigsten LHP- (rot) und RHP-Bänder (blau), und Punkte (LHP) und Dreiecke (RHP) der jeweiligen Farben entsprechen numerischen Simulationen. Die verschiedenen Panels entsprechen unterschiedlichen Modulationsfrequenzen (und -geschwindigkeiten) im gesamten Luminalbereich (a) Ω = 0,65, (b) Ω = 0,7, (c) Ω = 0,75, (d) \({{\Omega }}={ {{\Omega }}}_{krit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\ungefähr 0,78\), (e) Ω = 0,85 und (f) Ω = 0,9. Beachten Sie, wie die Ausnahmepunkte für die RHP-Bänder im ersten Quadranten den Ursprung für \({{\Omega }}={{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) erreichen, was zu einem Breitband führt chirale PT-gebrochene Phase. Darüber hinaus wechselt der optische Widerstand an diesem kritischen Punkt das Vorzeichen von negativ (entgegengesetzt dem Lichtfluss) zu positiv.

Als \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) geschieht etwas ziemlich Spektakuläres: Die Geschwindigkeit sowohl der RHP- als auch der LHP-Welle geht in der Nähe des Ursprungs zunächst gegen Null , wobei die Wellen durch die Schraube effektiv zum Stillstand gebracht werden, dann negativ werden und zu − ∞ tendieren, was bedeutet, dass der optische Widerstand nun unendlich und entgegengesetzt zur Richtung der Schraube wird. Während die LHP-Zustände stabil bleiben, erreicht die Instabilität, die die RHP-Modi beeinflusst, außerdem ihren Ursprung, was eine bandbreitenunbegrenzte Instabilität impliziert, sodass das System nun RHP-Wellen jeder Frequenz verstärken kann. Es ist wichtig zu betonen, dass dieser Verstärkungsmechanismus im scharfen Gegensatz zu zuvor untersuchten Luminalinstabilitäten28,29 die ursprüngliche Frequenz einer Welle beibehält und verstärkt, ohne ein Superkontinuum zu erzeugen, wie wir später in der Arbeit zeigen werden. Schließlich wechselt für \({{{\Omega }}}_{crit}^{0} \, < \, {{\Omega }} \, < \, 1\) der Widerstand plötzlich das Vorzeichen und tendiert zu + ∞ als \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) von oben. Dies geschieht, nachdem der Ausnahmepunkt den Ursprung berührt, sodass der gegenüberliegende PT-exakte Zweig nun daran befestigt ist. Somit breiten sich Vorwärtswellen jetzt schneller aus als Rückwärtswellen, und die Schraube übt einen positiven Widerstand auf die Wellen aus. Beachten Sie, wie die Geschwindigkeiten der beiden Polarisationen im Ursprung zusammengehalten werden. Dies ist eine Folge der diesem System zugrunde liegenden PT-Symmetrie: Da eine PT-Operation die beiden Polarisationen zusammen mit den k- und ω-Achsen ineinander umdrehen muss, impliziert die Anforderung, dass die Bänder in der Nähe des Ursprungs analytisch sein müssen, dass ihre Steigungen identisch sein müssen in seiner Nähe.

Mit etwas mehr Algebra können wir auch die geschlossene Dispersionsrelation für den Fall ϕ = π/4 ableiten, die lautet:

wobei \({{{\Delta }}}_{\pi /4}={(\frac{{\bar{\alpha }}^{+}\bar{g}}{2})}^{2 }+{{{\Omega }}}^{2}\) und n eine ungerade ganze Zahl ist. Beachten Sie, dass in diesem Fall der Versatz zwischen den Modulationen in \(\hat{\varepsilon }\) und \(\hat{\mu }\) impliziert, dass das System nicht mehr impedanzangepasst ist. Dadurch treten bei jeder Schneckengeschwindigkeit Bandlücken auf. In Abb. 4 untersuchen wir die Bänder in der Nähe des Ursprungs, während wir verschiedene Modulationsfrequenzen (Geschwindigkeiten) Ω für α = 0,4 durchlaufen.

Wie im vorherigen Szenario ist α = 0,4 und das Farb-/Markierungsschema ist identisch. Die verschiedenen Felder entsprechen Modulationsfrequenzen (und -geschwindigkeiten) (a) Ω = 0,6665, (b) Ω = 0,7, (c) Ω = 0,75, (d) \({{\Omega }}=0,78\ungefähr {{{ \Omega }}}_{crit}^{0}\), (e) Ω = 0,85 und (f) Ω = 0,9. Beachten Sie den qualitativen Unterschied zum Fall ϕ = 0 im Charakter der komplexen Bänder. Beachten Sie, dass die Bandlücken hier entweder rein vertikal oder rein horizontal sind. Darüber hinaus erscheinen K-Lücken in diesem System unterhalb der Lumengrenze, im Gegensatz zu allen vorherigen Beobachtungen, wo sie nur in überluminalen Szenarien auftauchen.

Obwohl wir nur den Dephasierungsparameter ϕ geändert haben, stellen wir fest, dass sich die Bänder deutlich vom übereinstimmenden Fall unterscheiden, was den Reichtum und die Vielfalt der in diesem System wirkenden Physik hervorhebt. Beachten Sie zunächst, dass im Gegensatz zum Fall ϕ = 0 hier die Vorwärtswellen kaum mit der Schraube interagieren, während die Rückwärtsbänder dramatisch verändert werden. Zweitens ist zu beachten, dass es sich bei den Bandlücken hier um herkömmliche ω- und k-Lücken handelt und keine diagonalen Lücken beobachtet werden. Das Auftreten von k-Lücken ist in der Literatur zu zeitveränderlichen Medien bekannt und ein Zeichen der parametrischen Verstärkung. K-Lücken wurden jedoch nur in überluminalen Bereichen beobachtet, wobei sich die Modulation schneller ausbreitet als die Wellen im ursprünglichen Medium. Im Gegenteil ist dieses System (nach bestem Wissen der Autoren) das erste untersuchte, das k-Lücken bei Modulationsgeschwindigkeiten deutlich unter c aufweist. Unsere analytische Lösung ermöglicht es uns, die genaue Schneckengeschwindigkeit \({{\Omega }}/g=\sqrt{1+{\bar{\alpha }}^{+}}\) zu berechnen, bei der sich die k-Lücken öffnen ( Ausnahmepunkt), der in diesem Fall 0,7454 beträgt. Ähnlich wie im Fall ϕ = 0 liegt der zweite kritische Punkt bei \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\ ) und es fällt mit den positiven und negativen komplexen Bändern zusammen, die sich im Ursprung berühren (Bild d). Beachten Sie, dass gleichzeitig mit diesem kritischen Punkt das instabile Band genau bei ω = 0 auftritt, da sich die ersten beiden Terme in den niedrigsten Eigenwerten aufheben und die Quadratwurzel eine imaginäre Zahl zurückgibt. Somit weist dieses Regime eine DC-Instabilität auf. Auch diese Instabilität ist chiraler Natur, da nur eine der beiden Polarisationen davon betroffen ist, während die andere nur einem optischen Widerstand unterliegt.

Um die asymptotische Steigung der Bänder bei langen Wellenlängen genauer zu untersuchen, zeichnen wir in Abb. 5 die Geschwindigkeit der Vorwärts- und Rückwärtswellen im Grenzfall k → 0 als Funktion der Schraubengeschwindigkeit für ϕ = 0 auf (oberes Feld) und ϕ = π/4 (unteres Feld) sowie für α = 0,4 (durchgezogene Linien und Punkte) und α = 0,1 (gestrichelte und strichpunktierte Linien). Für ϕ = 0 ist ersichtlich, dass nur die Vorwärtswellen signifikant von der Schraube beeinflusst werden. Wenn Ω sich dem kritischen Wert \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) nähert, nimmt die Geschwindigkeit der Vorwärtswellen bis zu dem Punkt ab, an dem sie negativ wird und tendiert zu − ∞ mit einer Resonanz- ähnliches Profil, wie aus unserer Diskussion von Abb. 3 erwartet. Diese Divergenz und Vorzeichenumkehr der langwelligen Geschwindigkeit tritt bei \({{\Omega }}=1+{\bar{\alpha }}^{+} auf. /2\) und gilt sowohl für den Fall ϕ = 0 als auch für den Fall ϕ = π/4. Für den Fall ϕ = π/4 ist die Situation umgekehrt, wobei die Rückwärtswellen mit Ω langsamer werden und in Vorwärtswellen umschlagen, bei der oben genannten kritischen Geschwindigkeit divergieren und nach dem Übergang wieder als schnelle Rückwärtswellen auftauchen. Aus diesen Diagrammen lässt sich noch deutlicher erkennen, wie die beiden Polarisationen (Linien für RHP, Punkte für LHP, nur für α = 0,4 dargestellt) im Ursprung die gleiche Geschwindigkeit haben, wie in unserem obigen PT-Symmetrie-Argument gezeigt.

Durchgezogene Linien und Kreise gelten für α = 0,4, während die gestrichelten und gepunkteten Linien für α = 0,1 gelten, was die Verkleinerung des Geschwindigkeitsbereichs zeigt, in dem die Wechselwirkung mit der Schraube am stärksten ist. Beachten Sie, dass die Schraube für ϕ = 0 nur mit den Vorwärtsbändern signifikant interagiert, während für ϕ = π/4 das Gegenteil der Fall ist. Beachten Sie, dass die Steigungen der RHP- und LHP-Bänder aufgrund der PT-Symmetrie im k → 0-Grenzwert immer entartet sind. Die schattierten Bereiche entsprechen Geschwindigkeitsregimen zwischen den Ausnahmepunkten \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}\) und \({{{\Omega }}}_{crit}^{+} \) (für den Fall α = 0,4), während der kritische Punkt \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) (auch für α = 0,4) beiden ϕ = 0 gemeinsam ist und ϕ = π/2 Fälle, ist als schwarze, gestrichelte Linie markiert.

Wir richten unsere Aufmerksamkeit nun auf die chiralen Instabilitäten, die im Banddiagramm für ϕ = 0 beobachtet werden. In Abb. 6 zeigen wir die Öffnung der diagonalen Bandlücke, wenn wir Ω für festes α = 0,4 (linke Spalte) variieren und wenn wir α variieren für festes Ω = 0,6. Es ist deutlich zu erkennen, wie sich bei RHP-Wellen die ersten beiden Bänder gegenseitig anziehen, was zu zwei komplexen Lösungen innerhalb des Intervalls führt, die durch ein Paar außergewöhnlicher Punkte begrenzt sind, ein bekanntes Zeichen für die Brechung der PT-Symmetrie55. Obwohl das untersuchte System nur durch reale Materialparameter charakterisiert ist, lässt seine Zeitabhängigkeit die Existenz von PT-gebrochenen Phasen zu, in denen das Material eingehende Wellen verstärken kann. Entscheidend ist, dass die chirale Natur der optischen Archimedes-Schraube darauf schließen lässt, dass dieses System RHP-Wellen selektiv verstärkt, wie wir zeigen wollten.

In der linken Spalte (ac) variieren wir Ω von 0,55 (a) bis 0,57 (c) bei einem festen α = 0,4 und in der rechten Spalte variieren wir α von 0,3 (d) bis 0,4 (f) bei einem festen Ω = 0,6 . Beachten Sie, wie beide Parameter die Anziehung zwischen den beiden Bändern induzieren, die zum Übergang in die PT-gebrochene Phase führt.

In Abb. 7 zeichnen wir die Übertragung einfallender zirkular polarisierter ebener Wellen durch eine endliche Länge d der optischen Archimedischen Schraube auf, indem wir die Lissajous-Figur auftragen, die durch einen Zyklus der ausgehenden Welle als Ergebnis der Schwebung zwischen der Frequenz ω = 1 beschrieben wird die einfallenden Wellen und die Rotationsfrequenz Ω der Schraube. Wir zeichnen den Realteil der x- und y-Komponenten des elektrischen Feldes auf. Die linke und rechte Spalte entsprechen den LHP- bzw. RHP-Eingangswellen. Für die LHP-Eingabe geht das obere Feld von Ω = 1 aus, während das untere Feld von Ω = 0,5 ausgeht und die blauen, roten, gelben und violetten Kurven den unterschiedlichen Dicken d = 0, 0,2π, 0,35π und 0,5π entsprechen, die für ausgewählt wurden veranschaulichen die Veränderung der resultierenden Lissajous-Figur. Beachten Sie, dass erwartungsgemäß die Zeit, die die Wellen benötigen, um einen Zyklus der Lissajous-Figur zu vollenden, der Schlagzeit zwischen der Frequenz ω = 1 der eintreffenden Wellen und der der Schraube Ω entspricht.

Das Verhältnis zwischen beiden bestimmt die Anzahl der Lappen in der Figur. Beim RHP-Eingang (ab) ist die Schraube in der Lage, die Wellen zu verstärken, wenn sie sich durch eine Dicke d ausbreiten. Im Gegensatz dazu wird eine LHP-Eingangswelle (cd) nicht verstärkt, sondern es entsteht eine zusätzliche Schwebung durch den zusätzlichen, deutlichen realen Eigenwert.

Bei LHP-Wellen führt die Wechselwirkung zwischen der eingehenden Welle und zwei realen Eigenzuständen einfach zu Lissajous-Figuren für die ausgehenden Wellen, deren Komplexität mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zwischen den beiden Frequenzen ω und Ω zunimmt, und es wird kein Nettogewinn erzielt. Bei RHP-Wellen ändert sich dieses Bild dramatisch: Jetzt haben die beiden Zustände, die die ankommende Welle koppelt, denselben Realteil, was zu einfacheren Schwebungsmustern führt. Allerdings führt der Imaginärteil der Eigenwerte bald zu einer Nettoverstärkung der ausgehenden Wellen, wenn d zunimmt, ein Zeichen für die chirale Natur dieses Verstärkungsprozesses. Beachten Sie, dass die Kurven, die zunehmenden Werten von d = 0, π/2, π und 3π/2 entsprechen, dazu führen, dass das elektrische Feld immer größere Werte annimmt und sich die Kurven weiter vom Ursprung entfernen. Das obere rechte Feld entspricht Ω = 1 und das untere Ω = 0,75.

Um schließlich den zugrunde liegenden Verstärkungsmechanismus weiter zu untersuchen, zeichnen wir in Abb. 8 den Modul der x-Komponente des elektrischen Feldes als Funktion der Zeit über einen Zeitraum von 2π/Ω der Schraube auf. Wir betrachten eingehende Wellen mit der Frequenz ω = 1, der zeitlichen Schraubenfrequenz Ω = 0,8 und der Dephasierung ϕ = 0. Tafel (a) zeigt die Dynamik des übertragenen Feldes in der stabilen Phase für kleine α = 0,05. Durch die Wechselwirkung mit der Schraube kommt es zu einer Schwingung zwischen beiden, wobei es zu einem periodischen Energieaustausch zwischen der Schraube und den Wellen kommt, deren Ausmaß periodisch mit der Dicke d der Schraube oszilliert. Im Gegensatz dazu zeigt Tafel (b) die Ergebnisse für den instabilen Fall α = 0,4, bei dem die eintreffenden Wellen die instabilen Zustände in der PT-gebrochenen Phase anregen.

In der stabilen Phase ist die Schraube nicht in der Lage, die Polarisation der Welle zu erfassen, was zu periodischen Schwingungen führt. In der instabilen Phase ist die Polarisation der Welle mit der der Schraube verzahnt, die so die Polarisation der Wellen erfassen und sie bei ihrer Ausbreitung verstärken kann. Hier verwenden wir ω = 1, Ω = 0,8, g = 1 und ϕ = 0.

Die Ausrichtung der Lichtpolarisation ist entscheidend für ihre Kopplung an ein sich bewegendes Gitter und dafür, ob sie dem Gitter Energie entzieht oder Energie an das Gitter abgibt. Bei niedrigen und hohen Gittergeschwindigkeiten bewegt sich die Polarisationswelle mit einer deutlich anderen Geschwindigkeit als das Gitter und wandert durch abwechselnd verstärkende und schwächende Bereiche. Der Energieaustausch schwankt auf und ab, liegt jedoch im Durchschnitt bei Null und es gelten die PT-Symmetrieregeln. Wenn andererseits die beiden Geschwindigkeiten vergleichbar sind, hat die Polarisation die Möglichkeit, ihre Geschwindigkeit an die des Gitters zu koppeln: Sie kann eine Orientierung wählen, so dass die lokale Geschwindigkeit, die durch ihre Überlappung mit dem Gitter bestimmt wird, gleich der von ist das Gitter und behält so seine relative Ausrichtung bei, während sie sich zusammen bewegen, wie aus Abb. 8b hervorgeht. Es gibt zwei Orientierungen, bei denen dies passieren könnte; einer liegt im Gewinnbereich, der andere im Verlustbereich. Dies führt zu der in Abbildung 6 gezeigten Bandlücke, in der wir zwei Lösungen haben, eine, die mit der Zeit Energie gewinnt, die andere, die Energie verliert. Dieser Mechanismus ist nur über einen Geschwindigkeitsbereich möglich, der durch die Amplitude des Gitters bestimmt wird. Wir behaupten, dass dieses Ergreifen des Lichts, um seinen Energiepegel zu erhöhen, mit der Funktion einer Archimedes-Schraube beim Anheben des Wasserspiegels vergleichbar ist. Es ist erwähnenswert, dass das Problem zwar im Fall der Impedanzanpassung mathematisch besser gelöst werden kann, dieser Verstärkungseffekt jedoch nicht davon abhängt, dass sowohl ε als auch μ moduliert werden. In der ergänzenden Abbildung 1 demonstrieren wir dies und zeigen den Fall, in dem nur ε moduliert wird, wie es am einfachsten in Pump-Probe-Experimenten möglich ist.

In dieser Arbeit haben wir chirale Raum-Zeit-Metamaterialien als elektromagnetisches Analogon der Archimedes-Schraube für Flüssigkeiten eingeführt und die exotischen Eigenschaften ihrer photonischen Bänder untersucht, indem wir ein analytisches Modell entwickelt haben, das exakte geschlossene Lösungen der Maxwell-Gleichungen aufgedeckt hat, mit denen wir verglichen haben Numerische Berechnungen zeigen perfekte Übereinstimmung. Darüber hinaus haben wir die in diesen Systemen auftretenden Instabilitäten untersucht und ihre Fähigkeit demonstriert, Licht einer bestimmten Polarisation zu verstärken. Der Reichtum des vorgestellten Modells bietet viele Möglichkeiten für die weitere Untersuchung des breiten verfügbaren Parameterraums, und die Kombination aus Zeitabhängigkeit und Chiralität macht diese neue Richtung zu einem vielversprechenden Boden für zukünftige Studien zur topologischen und nicht-hermiteschen Physik, und wir stellen uns das vor dass ein Großteil der beteiligten Physik bereits in der Optik mit Pump-Probe-Experimenten in hochgradig nichtlinearen Epsilon-nahe-Null-Materialien und bei HF mit nichtlinearen Induktivitäten und Kondensatoren getestet werden kann.

Ausführliche Informationen zu allen verwendeten analytischen und numerischen Methoden sind in den Zusatzinformationen frei verfügbar und konnten aufgrund von Formatierungsbeschränkungen nicht in das Hauptmanuskript aufgenommen werden.

Die wichtigsten Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, sind im Artikel und seinen ergänzenden Informationsdateien verfügbar. Alle in dieser Studie generierten Rohdaten sind auf begründete Anfrage bei den entsprechenden Autoren erhältlich. Anfragen werden von EG innerhalb einer Frist von maximal zwei Wochen bearbeitet. Die Bereitstellung der Daten erfolgt unter Garantie der Anerkennung/angemessenen Zitierung dieser Arbeit und einer wissenschaftlich fundierten Begründung der Anfrage.

Alle Datenanalysecodes im Zusammenhang mit dieser Studie sind auf begründete Anfrage bei den entsprechenden Autoren erhältlich. Anfragen werden von EG innerhalb einer Frist von maximal zwei Wochen bearbeitet. Die zur Erstellung der Daten verwendeten Codes werden unter der Garantie einer Anerkennung/angemessenen Zitierung dieser Arbeit und eines wissenschaftlich fundierten Grundes für die Anfrage bereitgestellt.

Eine Korrektur zu diesem Artikel wurde veröffentlicht: https://doi.org/10.1038/s41467-022-32352-7

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EG dankt dem EPSRC für die Finanzierung durch das Center for Doctoral Training in Theory and Simulation of Materials (Grant No. EP/L015579/1), ein EPSRC Doctoral Prize Fellowship (Grant No. EP/T51780X/1) und ein Junior Fellowship des Simons Society of Fellows (855344,EG). PAH dankt der Fundação para a Ciência ea Tecnologia und dem Instituto de Telecomunicações für die Finanzierung der Projekte HelicalMETA, UIDB/50008/2020 und des CEEC Individual-Programms mit der Referenz CEECIND/02947/2020. JBP dankt der Gordon and Betty Moore Foundation für die Finanzierung.

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JB Pendry

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JBP entwarf das Projekt, EG führte analytische und numerische Berechnungen durch, PAH und JBP überwachten das Projekt, EG entwarf das erste Manuskript und alle Autoren trugen zur endgültigen Version des Papiers bei.

Korrespondenz mit Emanuele Galiffi oder JB Pendry.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Nature Communications dankt Simon Horsley und den anderen, anonymen Gutachtern für ihren Beitrag zum Peer-Review dieser Arbeit. Peer-Reviewer-Berichte sind verfügbar.

Anmerkung des Herausgebers Springer Nature bleibt hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten neutral.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Galiffi, E., Huidobro, PA & Pendry, JB Eine archimedische Schraube für Licht. Nat Commun 13, 2523 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-30079-z

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Eingegangen: 18. Oktober 2021

Angenommen: 11. April 2022

Veröffentlicht: 09. Mai 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-022-30079-z

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